สำหรับโรงฝึกวิชาดาบสำนักมุไก หรือ มุไกริวนั้น
มักจะเห็นการเรียกกันมากว่าเป็นวิชาอิไอโด แต่ในความจริงนั้นอิไอโดเป็นเพียงส่วนหนึ่งของวิชาในมุไกริว
แต่ก็เป็นส่วนที่มีชื่อเสียงและเป็นส่วนพื้นฐาน ทำให้คนมักจะเรียกและเป็นที่รู้จักกันว่าเป็นวิชาชื่อ มุไกริว อิไอโด

ที่มาของวิชาดาบของมุไกริวนั้นมีพัฒนาการตามระยะเวลาที่ผ่านมาในแต่ละยุคสมัย
โดยตั้งแต่ยุคแรกนั้นวิชาดาบของมุไกริวยังมีลักษณะเป็นวิชาเคนจุสสุ ส่วนอิไอนั้นตามเข้ามาเมื่อภายหลัง

ในยุคเอโดะ ผู้ก่อตั้งของมุไกริว ซึจิ เก็ตตัน ซุเกะโมชิ (Tsuji Gettan Sukemochi) เริ่มต้นฝึกฝนวิชาดาบของ ยามากุจิ ริว (Yamaguchi-ryu)
เมื่อได้รับอนุญาตจึงมาเริ่มต้นเปิดโรงฝึกของยามากุจิ ริวที่เมืองเอโดะ
ต่อมาด้วยการพยายามค้นหาตนเองจึงได้เข้าไปฝึกฝนตนตามวิถีของนิกายเซน และ เรียนรู้วรรณกรรมเก่าแก่ ที่วัด Kyukoji ในเมือง Azabu Sakurada

จนเมื่ออายุ 32 ก็เริ่มต้นกำเนิดวิชาดาบมุไกริวโดยนำชื่อมุไกมาจากบทโศลกที่ได้รับมาจากอาจารย์
โดยในครั้งแรกโดยมีชื่อเต็ม คือ มุไกชินเด็นเคนโป Mugai Shinden Kenpō (無外真伝剣法) มีลักษณะเป็นวิชาเคนโป (Ken = ดาบ, Po = กฏ)
และ ถูกเรียกในอีกชื่อว่ามุไกริว เฮียวโฮ (兵法 Hyoho หมายถึง ศิลปะของการสงคราม)
โดยมีหัวใจของการฝึกที่มาจากแนวคิดของนิกายเซน และ แนวคิดของหยินและหยาง

ในตอนนั้นอาจจะกล่าวได้ว่า ซึจิ เก็ตตัน มุ่งเน้นไปที่วิชาดาบในแบบของเคนจุสสุ โดยแทบไม่เกี่ยวข้องกับอิไอเลย
โดยวิชาดาบที่เกิดขึ้นได้เริ่มมีชื่อเสียงและ เมื่ออายุได้ 45 ปี ได้เข้าถึงภาวะรู้แจ้งในวิถีแห่งเซน
ด้วยความมีชื่อเสียงทำให้วิชาดาบมุไกริว เฮียวโฮ ได้แพร่หลายอย่างมาก
โดย Tsuji Gettan Sukemochi มีเชื่อว่าดาบและเซนมุ่งไปสู่การหาความจริงอันเดียวกัน

อย่างที่กล่าวไปว่าวิชาดาบของซึจิ เก็ตตัน ซุเกะโมชิ จะมีลักษณะเป็นวิชาเคนโป หรือ เคนจุสสุในยุคนั้น
ส่วนอิไอโดนั้นเข้ามาร่วมด้วยทีหลัง เพราะซึจิ เก็ตตัน เรียนวิชาอิไอจุสสุ มาจากสำนักดาบจิเกียวริว อิไอ จุสสุ (Jikyo-ryu Iaijutsu) โดยเรียนมาจากผู้ก่อตั้งของจิเกียวริว อิไอ
โดยตัวลูกศิษย์คนอื่น ๆ ก็ทำตามซึจิ เก็ตตัน ที่เข้าฝึกวิชาจิเกียวริว อิไอไปด้วย ยังไงก็ตามวิชาอิไอยังไม่อยู่ในวิชาดาบมุไกริวในตอนนี้

แต่ต่อมาในระหว่างการสืบทอดของวิชามุไกริวในหลายรุ่นถัดมา ผู้สืบทอดของมุไกริวได้กลายเป็นผู้สืบทอดวิชาดาบจิเกียวริว อิไอไปด้วย
เพราะ หลังจากถูกถ่ายทอดวิชาทั้งสองควบคู่กัน เมื่อผ่านไปหกรุ่นของมุไกริวแล้วผู้สืบทอดวิชาทางฝั่ง จีเกียว ริว กลับได้ขาดช่วงสูญหายไป
และ ทำให้ จีเกียวริว อิไอโด ที่ถูกฝึกกันในสำนักมุไก ริว ก็กลายเป็นที่รู้จักกันในส่วนหนึ่งของวิชาใน มุไกริว ในชื่อของ มุไกริว อิไอ แทน

ผู้สืบทอดรุ่นที่ 10 ทาคาฮาชิ คิวทาโร่ โคอุน ของ มุไก ริว นั้นมีชื่อเสียงอย่างมากในฐานะอาจารย์สอนดาบของสำนักงานตำรวจ
โดย ทาคาฮาชิ คิวทาโร่ โคอุน ได้ฝึกวิชาดาบมุไกริว เฮียวโด, วิชาจีเกียว ริว อิไอ และ ซึดะอิชิเด็น ริว เคนจุสสุ (Mugai-ryu Hyohou, Jikyo-ryu Iai, Tsuda ichiden-ryu Kenjutsu)
และ เริ่มนำวิชาจีเกียว ริว อิไอ เข้ามาในการสอนร่วมไปกับ วิชาดาบมุไกริว เฮียวโด

หลังจากนั้น นาคะกาวะ ชินิฉิ ชิริว ที่ได้รับสืบทอดทักษะทั้งหมดจากทาคาฮาชิ คิวทาโร่ และรับตำแหน่งผู้สืบทอดคนที่ 11 ของมุไกริว
ได้มีการรวบรวมวิชาทั้งมุไกริว เฮียวโด และ  วิชาอิไอ มาเป็นระบบการฝึกฝนในชื่อใหม่ว่า มุไก ชินเด็น มุไกริว อิไอ เฮียวโด (Mugai Shinden Mugai-ryu Iai Hyodo)
โดยเรียกสั้น ๆ ว่า มุไกริว อิไอ เฮียวโด (Mugai-ryu Iai Hyodo) ที่รับมาในตอนนั้นนั่นเอง

ดังนั้นในปัจจุบัน หากสำหรับการฝึกแล้วจะเห็นว่า เรามักจะเรียกชื่อสำนักย่อ ๆ ว่า มุไกริว โดยย่อมาจาก มุไกริว อิไอเฮียวโด
โดยมีส่วนประกอบคือวิชาเคนจุสสุ และ อิไอโด รวมถึงมีการฝึกการตัด (ชิซัน) อีกด้วย

เนื่องจากการฝึกอิไอนั้นไม่มีคู่ต่อสู้อยู่ตรงหน้าจริง ๆ จึงทำให้คนหลงไปกับท่าทางภายนอกที่ทำให้สวยงามได้
การใช้คำว่าอิไอเฮียวโด นั้นมีที่มาจากที่ผู้ก่อตั้งวิชาดาบมุไกริว นั้นมีความคิดในการที่อยากให้ผู้ฝึกได้คิดถึงวิถีแห่งสงครามประกอบไปในการฝึก และ การขัดเกลาจิตใจด้วยเซน
การฝึกเน้นให้มีความคิดถึงการต่อสู้ ความเป็น และความตายไม่ใช่เพียงการร่ายรำ
และการตัดแต่ละครั้งจะต้องมีความมุ่งมั่นและจิตวิญญาณที่ถ่ายทอดออกไป และฝึกฝนขัดเกลาจิตวิญญาณควบคู่กันไป

ด้วยเหตุนี้การเรียกชื่อวิชาจริง ๆ แล้ว ที่ถูกต้องที่สุดคือ มุไกริว อิไอเฮียวโด นั่นเอง